Függvények, sorozatok

100. Bizonyítsa be, hogy az első n pozitív egész szám négyzetösszege n*(n +1)*(2*n +1) /6!

[Teljes indukcióval bizonyítunk.]

Az összefüggés (n =1)-re igaz: 1*2*3 /6 =1. Tegyük fel, hogy (n -1)-re igaz, és bizonyítsuk be, hogy (n -1)-ről n-re öröklődik. A feltevés szerint: 1^2 +2^2 +... +(n -1)^2 =(n -1)*n*(2*n -1) /6. Az egyenlőség mindkét oldalához n^2-et adunk: 1^2 +2^2 +... +(n -1)^2 +n^2 =n*(n -1)*(2*n -1) /6 +n^2. A jobb oldalát közös nevezőre hozva, beszorozva, összevonva, majd szorzattá alakítva: n*(2*n^2 -3*n +1) +6*n^2 /6 =n*(2*n^2 +3n +1) /6 =nz*(n +1)*(2*n +1) /6, ami épp a bizonyítandó állítás.

Ezzel igazoltuk, hogy az összefüggés minden pozitív számra igaz, mert 1-ről 2-re, arról 3-ra, ... öröklődik; 1-re pedig beláttuk, hogy az összefüggés valóban igaz.

101. Egy számtani sorozat első eleme a1, különbsége d. Bizonyítsa be, hogy an =a1 +(n -1)*d és sn =n*a1 +an /2!

A számtani sorozat olyan számsorozat, amelyben [a másodiktól kezdve] bármelyik elem és a közvetlen előtte álló elem különbsége állandó. a sorozat n -edik tagja: an =a1 +(n -1)*d, mivel a1-től (n -1) lépésben jutunk el an-ig, és mindegyik lépésben d -t adunk az előző taghoz.

sn =a1 +a2 +... +an. Az egyes tagokat a1 segítségével fölírva: sn =a1 +(a1 +d) +(a1 +2*d) +... +a1 +(n -2) -d +a1 +(n -1)*d. Az összeget (an segítségével) fordított sorrendben is felírjuk: sn =an +(an -d) +(an -2*d) +... +an -(n -2)*d +an -(n -1)*d. A két összegben a d-t tartalmazó tagok páronként egymásnak ellentettje. Az egyenlőségek megfelelő oldalait összeadva a d-t tartalmazó tagok rendre kiesnek: 2sn =a1 +an +a1 +an +... +a1 +an =n*(a1 +an). így: sn =n*(a1 +an) /2.

102. Egy mértani sorozat első eleme a1, hányadosa q. Bizonyítsa be, hogy an =a1*q^n -1 és sn =a1*(q^n) -1 /q -1 (q <>1).

A mértani sorozat olyan számsorozat, amelyben - a második elemtől kezdve - bármelyik elem a közvetlen előtte álló elemnek a q-szorosa.

A sorozat n-edik tagja: an =a1*q^(n -1), mivel a1 -től (n -1) lépésben jutunk el an -ig, és mindegyik lépésben q -val szorozzuk az előző tagot. sn =a1 +a1*q +... +a1*q^n - -2 +a1*q^n -1. sn*q =a1*q +a1*q^2 +... +a1*q^m -1 +a1*q^n -1, (q<>1). A második egyenlőségből kivonjuk az elsőt: sn*q -sn =a1*q^n -a1. Innen sn-et kifejezve: sn =a1*(q^n) -1 /q -1, (q<>1). Ha q =1, akkor ak =a1 minden k =1,2,...n-re, így sn =n*a1.

104. Hogyan adható meg egy függvény? [A válaszban térjen ki a jelölésekre is!]

Legyen A és B két tetszőleges halmaz. Rendeljünk hozzá az A halmaz minden eleméhez pontosan 1-1 elemet a B halmazból. az így létesített hozzárendelés a függvény. Az A halmaz a függvény értelmezési tartománya.

A függvényeket általában kisbetűvel jelöljük. Az f függvény az A halmaz x eleméhez egyetlen B -beli elemet rendel, ezt f(x)-szel jelöljük [f függvény értéke az x helyen]. Ez az f függvénynek az x helyen vett helyettesítési értéke. Gyakori, hogy a függvény definíciójában szereplő két halmaz közül csak az A-t adjuk meg. pl: X-et rendeljük `(x -1)-hez. [x >=1] Az f valós függvényt [valós számokon értelmezett valós értékű függvény, vagyis olyan függvény, melynek az értelmezési tartománya és az értékkészlete egyaránt a valós számok részhalmaza] grafikonját a koordinátasík mindazon pontjai képezik, amelyek (x,y) koordinátáira fennáll az y =f(x) összefüggés.

A függvény megadása több módon történhet, de egyértelműen tartalmaznia kell, hogy mely elemekhez mely elemeket rendel.

Számfüggvényeket sokszor képlettel adunk meg. pl.: f(x) =x^2 -1, ahol az f függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza. Ugyanez a függvény leszűkített értelmezési tartománnyal: f:[[0,2]] hozzárendelve r-hez, f(x) =x^2 -1.

Függvényeket megadhatunk utasítással is. pl a valós számokon értelmezett egészrész [x-et rendeljük [[x]], x eleme r-nek] függvény, ahol ez a jelölés a következő utasítást jelenti: minden x valós számhoz azt a legnagyobb egész számot rendeli, amely még nem nagyobb, mint x. Megadhatunk hozzárendelést grafikon, ill. táblázat segítségével is. Fontos függvénytípus a pozitív egész számokon értelmezett függvény, mely a valós számok halmazába képez le [számsorozatok]. Valós számokon értelmezett valós függvényeket gyakran gy adunk meg, hogy csak a hozzárendelési szabályt mondjuk meg. Ilyenkor értelmezési tartománynak a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát tekintjük, amelyen a hozzárendelési szabálynak értelme van.

105. Mit ért egy függvény értelmezési tartományán, ill. értékkészletén?

A függvény definíciója: Adott egy A és B halmaz. Egy f függvény az A halmaz minden x eleméhez a B halmaznak pontosan egy f(x) elemét rendeli. Az A halmaz az f függvény értelmezési tartománya. A B halmaznak azok az elemei, amelyek a hozzárendelésnél föllépnek [vagyis az f(x) értékek] alkotják az f függvény értékkészletét. Az értékkészlet lehet B halmaznál szűkebb.

Az értelmezési tartomány és az értékkészlet egybe is eshet, pl. a valós számokon értelmezett értékű függvények között vannak olyanok, amelyeknek az értelmezési tartománya és az értékkészlete egyaránt a valós számok halmaza.

106. Mikor nevezünk egy függvényt elsőfokúnak?

Egy f függvény elsőfokú [lineáris], ha az f függvény egy nem üres H halmazt képez le a valós számok halmazára [H a valós számok részhalmaza], és (f(x) =a*x +b), (a <>0), a,b eleme r-nek. (a >0)-ra a függvény szigorúan monoton növekvő, a <0>

Ha a H halmaz megegyezik a valós számok halmazával, akkor – a fenti képlettel megadott - elsőfok függvény grafikonja olyan egyenes, amelynek a meredeksége a, az ipszilon tengelyt pedig a

(0,b) pontban metszi. (b =0)-ra az elsőfokú függvény a két változó közötti egyenes arányosságot adja.

107. Mikor nevezünk egy függvényt másodfokúnak?

Egy f valós függvény [f:H hozzárendelve r -hez, H részhalmaza r-nek, (h <>0)] másodfokú, ha (f(x) =a*x^2 +b*x +c), ahol a,b,c eleme r-nek és (a <>0).

Ha a H halmaz megegyezik a valós számok halmazával, akkor a másodfokú függvény grafikonja ipszilon tengellyel párhuzamos parabola.

109. Ábrázolja és jellemezze a nem negatív valós számok halmazán értelmezett [x-et rendeljük a `x-hez] függvényt!

Értelmezési tartomány: a nem negatív valós számok halmaza (r+0). Értékkészlete: a nem negatív valós számok halmaza (r+0). A függvény teljes értelmezési tartományán szigorúan monoton növekvő. Minimumhely: x =0. Minimum érték: y =0. Zérushely: x =0. X tengelymetszet: x =0. Y tengelymetszet: y =0. A grafikon minden x -re a görbe pontjait összekötő hr fölött halad.

110. Mikor mondjuk egy függvényről, hogy:

A. periodikus?

B. páros?

C. páratlan?

D. korlátos?

A. Az f függvény periodikus, ha van olyan (c >0) valós szám, hogy az értelmezési tartománya minden x elemére (f(x +c) =f(x)) teljesül, ahol, ha x eleme a függvény értelmezési tartományának, akkor (x + -c) is. Periodikus függvény például a trigonometrikus függvények és a "törtrész"-függvény [x-et rendeljük a x törtrészéhez függvény].

B. Az f függvény páros, ha az értelmezési tartomány minden x elemével együtt -x is eleme az értelmezési tartománynak, és f( -x) =f(x). Páros függvények például a páros kitevőjű hatványfüggvények: x-et rendeljük a |x|-hez, x-et rendeljük a cos(x) függvényhez. A páros függvény grafikonja [amennyiben megrajzolható] szimmetrikus az ipszilon tengelyre.

C. Az f függvény páratlan, ha az értelmezési tartomány minden x elemével együtt -x is eleme az értelmezési tartománynak, és (f( -x) = -f(x)). Páratlan függvényre példa: a páratlan kitevőjű hatványfüggvények, az x-et rendeljük a (c /x)-hez, és x-et rendeljük a sin(x)-hez. A páratlan függvények grafikonja [amennyiben megrajzolható] szimmetrikus az origóra.

D. Az f függvény korlátos, ha van egy olyan K szám, hogy az értelmezési tartomány minden x elemére (|f(x)| <=K). Korlátos függvényekre példa: x-et rendeljük sin(x)-hez, x-et rendeljük cos(x)-hez és x-et rendeljük {x}-hez.

111. Mikor mondjuk, hogy egy függvény egy {a,b} intervallumban monoton növekszik, ill. csökken?

Az f függvény egy {a,b} intervallumban monoton nő, ha ott értelmezve van, és az intervallum minden olyan pontjára, melyre (x1 <=f(x2)).

Az f függvény egy {a,b} intervallumban monoton csökken, ha ott értelmezve van, és az intervallum minden olyan pontján, melyre (x1 =f(x2)).

Ha az egyenlőséget nem engedjük meg, a függvény szigorúan monoton nő, illetve csökken.

112. Mit nevezünk egy függvény zérushelyének, szélsőértékének?

Egy f függvény zérushelye az értelmezési tartomány olyan x értéke, melyre (f(x) =0). A függvény grafikonjának a zérushelyen közös pontja van az x tengellyel.

Egy f függvénynek kétféle szélsőértéke lehet: maximuma vagy minimuma. Egy f függvénynek maximuma van az értelmezési tartomány egy x0 értékére, ha a függvény értelmezve van x0-ra, és az értelmezési tartomány minden x elemére (f(x)< =f(x0)). Egy f függvénynek minimuma van az értelmezési tartomány minimum értékére, ha a függvény értelmezve van x0-ra, és az értelmezési tartomány minden x elemére (f(x) > =f(x0)).

113. Mit értünk egy függvény inverzén? a derékszögű koordináta-rendszerben milyen kapcsolat van a függvény és inverzének grafikonja között?

Inverze csak azoknak a függvényeknek van, amelyek kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesítenek az értelmezési tartományuk és az értékkészletük között [vagyis az értékkészlet minden eleme az értelmezési tartománynak pontosan egy eleméhez van hozzárendelve]. Az f függvénynek a g függvény inverze, ha az f értelmezési tartományának minden x elemére teljesül, hogy az f(x) eleme a g értelmezési tartományának, és (g(f(x)) =x). pl.: a nem negatív valós számokon értelmezett x-et rendeljük x^2-hez, s ennek inverze, ha az x-et rendeljük a `x-hez [x nem negatív].

Ha az f és a g függvény egymásnak inverze, akkor az f értelmezési tartománya a g értékkészlete, és az f értékkészlete a g értelmezési tartománya. Ha két függvény egymásnak inverze, akkor grafikonjaik [ha megrajzolhatóak], egymásnak tükörképei az (y =x) egyenletű egyenesre. Szigorúan monoton növekvő [vagy csökkenő] függvénynek az inverze is szigorúan monoton növekvő [vagy csökkenő].

116. Ábrázolja és jellemezze a valós számok halmazán értelmezett x-et rendeljük a sin(x)-hez függvényt.

Értelmezési tartománya: a valós számok halmaza. Értékkészlete: a ( -1,1) intervallumhoz tartozó számhalmaz. Korlátos, és nem invertálható [nincs inverz függvénye]. Páratlan függvény, mert (sin(-x) =-sin(x)), minden valós x-re. Periodikus, mert (sin(x +2*k*pi) =sin(x)) minden valós x-re [k tetszőleges egész szám]. A periódus hossza 2pi. Zérushelyei: x =k*pi, k eleme Z -nek, tetszőleges. Maximumhelyei: x =pi /2 +2*k*pi, k eleme Z, tetszőleges. Maximumértéke: 1. Minimum helyei: x =3*pi /2 +2*k*pi, k eleme Z, tetszőleges. Minimumértéke: -1. Szigoruan monoton nő, ha (-pi /2 +2*k*pi <=x <=pi /2 +2*k*pi), k eleme Z, tetszőleges. Szigoruan monoton fogy, ha (pi /2 +2*k*pi <=x <=3pi /2 +2*k*pi), k eleme Z, tetszőleges.

117. Ábrázolja és jellemezze a valós számok halmazán értelmezett x-hez rendeljük a cos(x) függvényt.

Értelmezési tartomány: valós számok halmaza. Értékkészlete: a (-1,1) intervallumhoz tartozó számhalmaz. Korlátos, és nem invertálható. Páros függvény, mert (cos(-x) =cos(x))-el, minden valós x-re. Periodikus, a periódus hossza 2pi. Zérushelyei: (x =pi /2 +k*pi), k eleme Z, tetszőleges. Maximumhelyei: (x =2*k*pi), k eleme Z, tetszőleges. Maximum értéke: 1. Minimumhelyei: (x =pi +2*k*pi), k eleme Z, tetszőleges. Minimumértéke: -1. Szigorúan monoton nő, ha (pi +2*k*pi <=x <=2*pi +2*k*pi), k eleme Z, tetszőleges. Szigorúan monoton fogy, ha (2*k*pi <=x <=pi +2*k*pi), k eleme Z, tetszőleges.

118. Ábrázolja és jellemezze a (-pi /2,pi /2) balról zárt, jobbról nyílt intervallumon értelmezett [x-et rendeljük a tan(x)-hez] függvényt.

Értékkészlete: a valós számok halmaza. Invertálható, ugyanis minden valós értéket egyszer vesz fel, viszont nem korlátos. Páratlan, mert (tan(-x) =-tan(x)) az adott értelmezési tartományokon. Zérushelye: x =0. Szélsőértéke nincs, szigoruan monoton nő.

123. Milyen sorozatot nevezünk számtani, illetve mértani sorozatnak?

A számtani sorozat pozitív egész számokon értelmezett valós szám értékű függvény. a számtani sorozat olyan számsorozat, amelyben - a második elemtől kezdve - bármelyik elem és a közvetlenül előtte álló elem különbsége (d) állandó. A számtani sorozatban bármely 3 egymás után álló elem közül a középső a két szélsőnek a számtani közepe. Ez az összefüggés általánosan is igaz: bármely elem a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő elemeknek a számtani közepe.

A mértani sorozat olyan számsorozat, amelyben - a második elemtől kezdve - bármelyik elem a közvetlen előtte álló elemnek ugyanannyi szorosa. a q a mértani sorozatra jellemző állandó szorzótényező. Ha a quociens (q) pozitív, akkor a sorozat minden tagja azonos előjelű, ha a quociens negatív, akkor a tagok váltakozó előjelűek. Ha (q >1), akkor a sorozat szigoruan monoton növekvő, (0 <1)-re. Ha q =0, akkor a sorozat második elemétől kezdve minden elem 0. Ha q=1, akkor a sorozat minden eleme megegyezik. Pozitív számokból álló mértani sorozatban bármely 3 egymásután álló elem közül a középső a két szélsőnek a mértani közepe. Általánosan is igaz: a pozitív számokból álló mértani sorozatban bármely elem a tőle szimetrikusan elhelyezkedő elemeknek a mértani közepe.