Geometria
Geometriai transzformációk azok a függvények, amelyek 1 ponthalmazt 1 ponthalmazra képeznek le. A geometriai transzformációk közül a távolságtartó leképezések az egybevágósági transzformációk. Ha a P és Q pont képe P' és Q', akkor P és Q távolsága megegyezik a P' és Q' pontok távolságával. A tengelyes és a középpontos tükrözés a pont körüli forgatás és az eltolás síkbeli egybevágósági transzformációk.
Adott a sík egy t egyenese. Ez a tengelyes tükrözés tengelye. A t tengelyre vonatkozó tengelyes tükrözés a sík tetszőleges t-re nem illeszkedő P pontjához azt a P' pontot rendeli, amelyre fennáll, hogy a két P -P' szakasz felezőmerőlegese a t tengely. A t egyenes képe saját maga. A tengelyes tükrözés tulajdonságai:
A. A hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű: egy pontnak egy képpont felel meg, és minden képpontnak egy őse van.
B. A t egyenes minden pontja fixpont, más fixpont nincs.
C. A t egyenes és a rá merőleges egyenesek fixegyenesek, több fixegyenes nincs. Fixalakzatok a t egyenesre tengelyesen szimetrikus idomok.
D. A leképezés távolságtartó [minden szakasz egyenlő hosszság a tükörképével].
E. Szögtartó [minden szög egyenlő nagyság a tükörképével)].
F. Nem körüljárástartó [minden síkidom ellenkező körüljárás, mint a tükörképe].
G. Egyenes képe olyan egyenes, amely ugyanabban a pontban metszi a tengelyt, és ugyanakkora szöget zár be a tengellyel, mint az eredeti egyenes.
A fixpont olyan pont, amelynek a képe saját maga. A fixalakzat olyan alakzat, amelynek a képe saját maga.
Adott a sík egy O pontja, a középpontos tükrözés középpontja.
Az O pontra vonatkozó középpontos tükrözés a sík tetszőleges
O-tól különböző P pontjához azt a P' pontot rendeli, amelyre az
O pont a P-P' szakasz felező pontja.
Az O pont képe saját maga.
A középpontos tükrözés tulajdonságai:
A. A leképezés kölcsönösen egyértelmű.
B. Az O pont az egyetlen fixpontja.
C. Minden O-ra illeszkedő egyenes fixegyenes, bár pontonként
egyik sem fix.
D. A leképezés távolságtartó, szögtartó és körüljárástartó.
E. Ha egy egyenes nem illeszkedik az O pontra, akkor az egyenes
és a képe párhuzamos egymással.
47. Milyen ponthalmazokat nevezünk a sík egy pontjára, ill. egy egyenesére szimetrikusnak? Sorolja fel a középpontosan, ill. a tengelyesen szimetrikus háromszögeket, négyszögeket,sokszögeket!
Ha egy ponthalmazhoz található olyan O pont, melyre vonatkozó tükörképe önmaga, akkor ez a ponthalmaz középpontosan szimetrikus alakzat, melynek O a szimetriaközéppontja.
Ha egy ponthalmazhoz található olyan t egyenes, amelyre vonatkozó tükörképe önmaga, akkor ez a ponthalmaz tengelyesen szimetrikus alakzat. A t egyenes az alakzat tükörtengelye vagy szimetriatengelye. Középpontosan szimetrikus háromszög nincs, mert nem lehetnek párhuzamos és egyenlő hossz oldalpárjai.
Középpontosan szimetrikus négyszög a paralelogramma. A szimetriaközéppont az átlók metszéspontja. Középpontosan szimetrikusak általában a páros oldalszám szabályos sokszögek, például a szabályos 6szögek, 8szögek, 10szögek stb. Szimetriaközéppontjuk az átellenes cscsokat összekötő átlók metszéspontja, amely egyúttal a párhuzamos oldalpárok felezőmerőlegeseinek is közös pontja. De vannak más - nem szabályos - középpontosan szimetrikus páros oldalszám sokszögek is.
A kör átmérői a középpontban metszik egymást, erre a pontra a kör középpontosan szimetrikus.
Az egyenlő szár háromszög tengelyesen szimetrikus, legalább egy szimetriatengelye van.
Speciálisan a szabályos háromszög is tengelyesen szimetrikus, és három szimetriatengelye van.
A deltoidnak és a szimetrikus trapéznak legalább egy szimetriatengelye van.
A rombusznak és a téglalapnak legalább 2, és a tengelyek merőlegesek egymásra; a négyzetnek négy.
A rombusz, a téglalap [és így a négyzet is] – mivel paralelogrammák - középpontosan is szimetrikus alakzatok. A szabályos sokszögek mind tengelyesen szimetrikusak, annyi szimetriatengellyel, ahány oldaluk van. A páros oldalszámak ([pl. a szabályos háromszög középpontosan is szimetrikusak, és a tükörtengelyek a szemközti cscsokat, illetve a szemköztes oldalak felezőpontjait kötik össze. A páratlan oldalszámak középpontosan nem szimetrikusak, és a tükörtengelyek a cscsokat az átellenes oldal felezőpontjaival kötik össze. A kör tengelyesen szimetrikus minden átmérőjére.
Adott a sík egy O pontja, egy alfa szög, és egy [pozitív vagy negatív] forgásirány. Az O pont körüli alfa szögü, adott irány forgatás a sík tetszőleges O-tól különböző P pontjához azt a P' delta irány és nagyság szerint megegyezik alfával. Az O pont képe önmaga. Az O-t az elforgatás centrumának nevezzük. A pont körüli forgatás tulajdonságai:
A. Kölcsönösen egyértelmű.
B. Egyetlen fixpontja az O pont, ha csak az elforgatás szöge nem
0 fok.
C. Fixegyenese nincs, hacsak nem 0 fok vagy 180 fok az elforgatás szöge.
D. Minden olyan kör fix alakzat, amelynek a középpontja az elforgatás centruma: és minden n oldalu szabályos sokszög is az, a középpontja körül 360fok /n szöggel vagy többszörösével elforgatva.
E. Távolságtartó és szögtartó.
F. Körüljárástartó.
G. Ha a forgatás szöge nem nagyobb, mint 90 fok, akkor bármely egyenes és a képegyenes által bezárt szög megegyezik az elforgatás szögével.
49. Milyen ponttranszformációt nevezünk eltolásnak? Sorolja fel az eltolás tulajdonságait!
Adott egy v vektor. A v vektorral való eltolás a tér tetszőleges P pontjához azt a P' pontot rendeli, amelyre (P -P' =v). A hozzárendelés tulajdonságai:
A. Kölcsönösen egyértelmű.
B. Nincs fixpontja, kivéve, ha az adott vektor nulvektor.
C. Az adott vektorral párhuzamos egyenesek és síkok fixalakzatok, de pontonként egyik sem fix.
D. Távolságtartó és szögtartó.
E. Körüljárástartó.
51. Milyen ponttranszformációt nevezünk középpontos hasonlóságnak? Sorolja fel a középpontos hasonlóság tulajdonságait!
Adott egy O pont és egy epszilon [0-tól különböző valós] szám. Az O középpontu, epszilon arány középpontos hasonlóság a sík egy tetszőleges az O ponttól különböző P pontjához az O-P egyenesen azt a P' pontot rendeli, amely O-tól |epszilon|-szor akkora távolságra van, mint P; és epszilon >0 esetén az O-P félegyenesen van, epszilon <0>1), akkor nagyítás; ha (|epszilon| <1>
A. Kölcsönösen egyértelmű.
B. Egyetlen fixpontja az O pont.
C. Minden O-ra illeszkedő egyenes fixegyenes, de pontonként nem fix.
D. Ha egy egyenes nem illeszkedik az O pontra, akkor az egyenes és a képe párhuzamos egymással.
E. A középpontos hasonlóság aránytartó: ha a A képe A' és B képe B', C képe C', D képe D', akkor (A -B /C -D =A' -B' /C' -D').
F. A középpontos hasonlóság szögtartó.
57. Fogalmazza meg a párhuzamos szelők tételét és a tétel megfordítását!
Párhuzamos szelők tétele: Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metszük, akkor az egyik száron keletkező szakaszok aránya megegyezik a másik száron keletkező megfelelő szakaszok arányával.
A tétel egy speciális esetének megfordítása: Ha egyenesek egy szög két szárából olyan szakaszokat vágnak le, amelyek aránya mindkét száron ugyan az, akkor az egyenesek párhuzamosak.
Általános esetben nem fordítható meg a tétel, csak akkor, ha a szakaszok a szög cscsától kezdve és egymáshoz csatlakozva helyezkednek el.
59. Mikor mondjuk két síkidomról, hogy hasonlók? Sorolja fel a háromszögek hasonlóságának alapeseteit!
Két alakzat hasonló: Ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzathoz a másikat rendeli.
Hasonlósági transzformáció: Véges sok középpontos hasonlóság és véges sok egybevágósági transzformáció egymásutánja.
Bizonyítható, hogy két háromszög hasonló, ha megfelelő oldalainak aránya páronként egyenlő ha két -két megfelelő oldaluk aránya és az ezek által közbe zárt szögeik egyenlők. Ha két-két szögük páronként megegyezik. Ha két-két megfelelő oldaluk aránya és a nagyobb oldalakkal szemközt lévő szögeik egyenlők.
61. Tekintsünk két hasonló sokszöget, illetve két hasonló glát, a hasonlóság aránya legyen mindkét esetben k. Bizonyítsa be, hogy a két sokszög területének aránya k^2, a két gla térfogatának aránya pedig k^3!
A k valós szám, két hasonló sokszög, illetve két hasonló gla pontpárjai távolságának aránya, így k pozitív szám.
A bizonyításban szükségünk van a hasonló háromszögek területei között fönnálló összefüggésre, ezért első lépésben ezzel foglalkozunk.
Tekintsünk két hasonló háromszöget, melyek hasonlóságának aránya k. Mivel a két háromszög hasonló egymáshoz, van olyan hasonlósági transzformáció, amely egyiket a másikba viszi. Ez a transzformáció szögtartó is, így az egyik háromszög magasságát a másik háromszög magasságába viszi.
62. Milyen összefüggés van a gla alapterülete és az alappal
párhuzamos síkmetszetének területe között? Bizonyítsa be!
A gla alappal párhuzamos síkmetszetének területe gy aránylik az alapterülethez, mint ahogy a síkmetszet cscstól mért távolságának (x) négyzete aránylik a gla magasságának (m) négyzetéhez.
Bizonyítás: A két sokszög - az alappal párhuzamos metszésből adódóan – a gla cscsára nézve középpontosan hasonló. A hasonlóság aránya megegyezik a gla alaplapja éleinek és a párhuzamos síkmetszet megfelelő éleinek arányával, ez pedig megegyezik a hozzájuk tartozó glák magasságának arányával, (x /m)-mel. Tudjuk, hogy hasonló idomok területeinek aránya a hasonlósági arány négyzete. Ezért a párhuzamos síkmetszet területe gy aránylik az alapterülethez, mint a cscstól számított távolságaik négyzete [a megfelelő glák magasságainak négyzete].
Tehát:
t /T =(x /m)^2 =x^2 /m^2.
Megjegyzés küldése