Halmazok

152. Adjon meg különféle jelölésekkel három halmazt! Mikor egyenlő két halmaz?

A halmaz a matematikában alapfogalom. Két halmazt akkor tekintünk egyenlőnek, ha ugyanazokat az elemeket tartalmazzák. Halmazt megadhatunk gy, hogy felsoroljuk az elemeit. Pl.: A={{1,3,5,7,9}}

Megadhatunk halmazt egy alaphalmazzal, és egy tulajdonsággal gy, hogy a halmazba az alaphalmaznak azok az elemei tartoznak, amelyekre igaz a tulajdonság. Pl.: R+={{x eleme R és x >0}}, P={{n eleme N+ és n prím}}

153. Legyen A és B két tetszőleges halmaz. Mikor mondjuk, hogy A részhalmaza B-nek?

Az A halmaz részhalmaza [része] a B halmaznak, ha az A halmaz minden eleme egyben a B halmaznak is eleme. A részhalmaza B-nek, és B-nek nincs A-hoz nem tartozó eleme

154. Legyen A és B két tetszőleges halmaz. Mit értünk A és B direkt [Descartes-féle] szorzatán?

Tegyük fel, hogy A és B nem üres halmazok. Az A*B halmaz eleme az összes olyan (a,b) alap rendezett pár, ahol a eleme A-nak, és b eleme B-nek. Az A*B halmazt az A és B halmazok direkt [Descartes-féle] szorzatának nevezzük.

155. Definiálja a következő halmazműveleteket: Unió-, Metszet-, Különbségképzés! A három művelet közül melyik kommutatív, melyik asszociatív?

Unióképzés: Az A és B halmaz uniója [egyesítése, összege] azon elemeknek a halmaza, amelyek az A és B halmazok közül legalább az egyiknek elemei. Az unióképzés: Kommutatív: A unió B = B unió A. Asszociatív: (A unió B) unió C=A unió (B unió C)=A unió B unió C

Metszetképzés: Az A és B halmaz metszete [közös része] azon elemeknek a halmaza, amelyek az A és B halmazok közül mindkettőnek elemei. A metszetképzés: Kommutatív: A metszet B = B metszet A Asszociatív: (A metszet B) metszet C = A metszet (B metszet C)= A metszet B metszet C

Különbségképzés: Az A és B halmazok [ebben a sorrendben vett] különbsége az A halmaz azon elemeinek halmaza, amelyek nem elemei a B halmaznak. A különbségképzés művelete nem kommutatív és nem asszociatív.

156. Mi a konjunkció? Bizonyítsa be, hogy a művelet kommutatív és asszociatív!

A konjunkció olyan logikai művelet, amely két kijelentést vagy állítást az "és" kötőszóval kapcsol össze egy kijelentéssé.

A művelet kommutatív: A és B = B és A. A definíció szerint ugyanis az A eredmény logikai értéke [igaz, vagy nem igaz volta] független az eredeti állítások sorrendjétől.

A művelet asszociatív: (A és B) és C = A és (B és C)

157. Mi a diszjunkció? Bizonyítsa be, hogy a művelet kommutatív és asszociatív!

A diszjunkció olyan logikai művelet, mely két kijelentést a "vagy" kötőszóval egy kijelentéssé kapcsol össze.

A művelet kommutatív: A vagy B = B vagy A , a definíció szerint ugyanis az eredmény logikai értéke független az eredeti állítások sorrendjétől.

A művelet asszociatív: (A vagy B) vagy C= A vagy (B vagy C)

158. Mi a negáció? Legyen P és Q két állítás! Bizonyítsa be, hogy nem (P és q)=nem P vagy nem Q!

A negáció egyváltozós művelet. Egy A kijelentés negációja (nem A) a "nem igaz, hogy A" kijelentést, vagyis A tagadását jelenti.

Fontos összefüggés a diszjunkció és a konjunkció között:

Nem (P és Q) = nem P vagy nem Q