Koordináta geometria

84. Mit ért egy alakzat egyenletén?

Egy alakzat egyenlete olyan egyenlet, amelynek megoldáshalmaza az alakzat pontjainak koordinátáiból áll; vagyis olyan egyenlet, amelyet az alakzat minden pontjának koordinátái kielégítenek, más pontok koordinátái viszont nem.

85. rja fel az A(a1,a2) és B(b1,b2) pontok távolságának kiszámítására vonatkozó képletet, és igazolja annak helyességét!

Két pont (A(a1,a2) és B(b1,b2)) távolsága (d) a két pont által meghatározott vektor (A -B(b1 -a1,b2 -a2)) abszoltértéke. Koordinátáival adott vektor abszoltértéke a vektor koordinátái négyzetösszegének a négyzetgyöke. Gy |A -B| =`((b1 -a1)^2 +(b2 -a2)^2)

A két pont távolsága: d =`((b1 -a1)^2 +(b2 -a2)^2.

86. rja fel egy szakasz felezőpontjának, illetve harmadolópontjának koordinátáit a szakasz végpontjainak koordinátáival, és igazolja a felírt formulákat!

Szakasz felezőpontjának koordinátái: az A -B szakasz F felezőpontjának koordinátái: x ={x1 +x2 /2}, y ={y1 +y2 /2}. A végpontok koordinátáival megadott szakasz felezőpontjának koordinátái a végpontok megfelelő koordinátáinak számtani közepei. A végpontok koordinátáival megadott szakasz harmadolópontjának koordinátái: x =x1 +2*x2 /3 y =y1 +2*y2 /3. A H harmadolópont koordinátáit megkapjuk, ha a hozzá közelebbi végpont megfelelő koordinátája kétszereséhez hozzáadjuk a távolabbi végpont megfelelő koordinátáját, s ezt az összeget osztjuk 3mal.

87. Adottak egy háromszög csúcspontjainak koordinátái. Bizonyítsa be, hogy a súlypont koordinátái kiszámíthatók a csúcsok koordinátáinak számtani közepeként!

X =x1 +x2 +x3 /3 y =y1 +y2 +y3 /3 Ahol S (x,y) a három súlyvonal közös pontja.

A bizonyításhoz felhasználjuk a harmadoló pont koordinátáira vonatkozó ismereteinket.

88. Definiálja egy egyenes iránytangensét!

Egy egyenes irányvektora bármely az egyenessel párhuzamos vektor. Az egyenes iránytangense egy [v vektor(v1,v2)] irányvektorának koordinátáiból képzett (v2 /v1) hányados, ahol (v1 <>0). V2 /v1 =tan(alfa), v1 <>0 és alfa az egyenesnek az x tengely pozitív felével bezárt szöge.

Ha (v2 =0), vagyis az egyenes párhuzamos az x tengellyel, akkor iránytangense 0.

Ha v1 =0, vagyis az egyenes párhuzamos az y tengellyel, akkor nincs iránytangense.

89. Bizonyítsa be, hogy a P0(x0,y0) ponton átmenő v vektor(v1,v2) irányvektor egyenes egyenlete (v2x -v1y =v2x0 -v2y0)!

A P0(x0,y0) ponton átmenő v vektor(v1,v2) irányvektor egyenes egyenlete: v2x -v1y =v2x0 -v2y0.

90. Bizonyítsa be, hogy a P0(x0,y0) ponton áthaladó n vektor (n1,n2) normálvektorú egyenes egyenlete (n1*(x -x0) +n2*(y -y0) =0)!

Az egyenes normálvektora az egyenesre merőleges, nulvektortól különböző vektor. A bizonyításban felhasználjuk a vektorok skaláris szorzatára vonatkozó ismereteinket.

91. Bizonyítsa be, hogy a P0(x0,y0) ponton átmenő m iránytangensű egyenes egyenlete y -y0 =m*(x -x0)!

Bizonyítása: legyen az egyenes irányvektora v vektor (v1,v2). Iránytangens csak akkor létezik, ha a v vektor nem párhuzamos az y tengellyel, vagyis (v1 <>0). Ekkor az iránytangenst [m-et] így értelmezzük: m =v2 /v1.

Induljunk ki az egyenes irányvektoros egyenletéből: v2*(x -v1)*y =v2*(x0 -v1)*y0. V1 <>0, végigosztva az egyenletet kapjuk: v2 /v1*x -y =v2 /v1*x0 -y0. Ez pedig így írható: m*x -y =m*x0 -y0. A kapott egyenletet rendezve kapjuk, hogy: y -y0 =m*(x -x0). Ha az adott pont P0(0,b), akkor y -b =m*x, vagyis y =m*x +b. Ez az egyenes iránytényezős egyenlete.

92. Adja meg két egyenes párhuzamosságának, illetve merőlegességének - a koordinátageometriában használatos - szükséges és elégséges feltételét!

Két egyenes akkor és csak akkor párhuzamos, ha irányvektoraik, illetve normálvektoraik párhuzamosak, vagyis egymásnak skalárszorosai. Ha az egyeneseknek van iránytangensük, vagyis nem párhuzamosak az y tengellyel, akkor a párhuzamosságnak szükséges és elégséges feltétele, hogy a két egyenesnek az iránytangense [m1 és m2] egyenlő legyen: m1 =m2.

Két egyenes akkor és csak akkor merőleges egymásra, ha irányvektoraik illetve normálvektoraik merőlegesek egymásra, vagyis irányvektoraik, illetve a normálvektoraik skaláris szorzata 0. Ha mindkét egyenesnek van iránytangense [m1 és m2], akkor a merőlegesség szükséges és elégséges feltétele, hogy iránytangenseik szorzata -1 legyen: m1*m2 =-1.

93. Bizonyítsa be, hogy a C(u,v) középpont, r sugarú kör egyenlete ((x -u)^2 +(y -v)^2 =r^2)!

A P(x,y) pont akkor és csak akkor van a körön, ha távolsága a C(u,v), középponttól, r.

A bizonyításhoz felhasználjuk a két pont távolságát megadó képletet.

95. A P paraméterű F(0,p /2) fókuszpont parabola tengelypontja a koordinátarendszer kezdőpontja, tengelye az ordinátatengely. Bizonyítsa be, hogy a parabola egyenlete (x^2 =2*p*y)!

Bizonyítása: a feltételek alapján a vezéregyenes egyenlete:

y =-P /2. A P(x,y) pont akkor és csak akkor van a parabolán, ha P-nek a vezéregyenesen lévő merőleges vetületét T-vel jelölve (P -F =P -T), vagyis: `(x^2 +(y -P /2)^2) =y +P /2. Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emelve, majd rendezve kapjuk az (x^2 =2*p*y) alakot, amely eqivalens az előbbi egyenlettel, mivel a feltételek miatt (y +p /2) pozitív. A kapott egyenlet az y tengelyű parabola tengelyponti egyenlete. Az x tengelyű parabola tengelyponti egyenlete: y^2 =2*p*x.