Sokszögek, kör

41. Bizonyítsa be, hogy a kör egy ívéhez tartozó bármelyik kerületi szög feleakkora, mint az ugyanehhez az ívhez tartozó középponti szög!

A kerületi szög olyan szög, melynek csúcsa a kör kerületén van, szárai pedig a kör 1-1 húrját tartalmazzák. A körvonalnak a kerületi szög szögtartományába eső íve a kerületi szöghöz tartozó körív. A középponti szög olyan szög, melynek csúcsa a kör középpontja, szárai pedig a kör 1-1 sugarát tartalmazzák. A körvonalnak a középponti szög szögtartományába eső íve a középponti szöghöz tartozó körív. A kör egy ívéhez egy középponti szög és végtelen sok kerületi szög tartozik. A kör egy ívéhez tartozó bármely kerületi szög feleakkora, mint az ugyanehhez az ívhez tartozó középponti szög.

42. Bizonyítsd be, hogy az n oldal konvex sokszög belső szögeinek összege (n -2*180) fok, átlóinak száma pedig (n*(n -3)/2)!

A. Az n oldal konvex sokszög belső szögeinek összege (n -2*180) fok. Bizonyítása: A sokszög minden csúcsából (n -3) átló húzható [saját magával és a két szomszédos csúcsba nem rajzolható átló]. Az egy csúcsból húzott (n -3) átló a sokszöget (n -2) háromszögre bontja. Ezek belső szögeinek összege: n -2*180 fok. Ez éppen a sokszög belső szögeinek összegét adja.

B. Az n oldal konvex sokszög összes átlójának száma (n*(n -3)/2). Bizonyítása:

Az n oldal konvex sokszögben egy csúcsból (n -3), n csúcsból összesen (n*(n -3)) átló húzható. gy mindegyik átlót kétszer számoljuk, egyszer az egyik végpontjánál, egyszer a másiknál. Az (n*(n -3))-at ezért el kell osztani 2-vel. Az n oldal sokszög összes átlójának száma tehát valóban (n*(n -3)/2).

60. Fejezze ki a körcikk és a körszelet területét a sugár és a középponti szög [ívhossz] segítségével!

A körcikk a körlapnak és egy középponti szög tartományának a közös része. Az r sugaru i hosszság ívhez tartozó körcikk nyílásszöge fokokban kifejezve legyen alfa fok, az ívmértéke legyen ívalfa, a kör cikk területe t legyen.

A körben a középponti szög és a hozzá tartozó körcikk területe egyenesen arányos. Ezt felhasználva: Alfa fok /360 fok =ívalfa/2*pi=t/r^2*pi, innen> t=pi/360fok*r^2*alfafok=r^2ívalfa/2 az ívmérték definíciója alapján a körív hossza a hozzátartozó középponti szög ívmértékének r-szerese; i=r*ívalfa. juk ezt be a körcikk ívmértékkel kifejezett területképletébe: T=r*i/2

a körszelet területét gy számoljuk ki, hogy az őt tartalmazó körcikk területéből kivonjuk kiegészítő háromszög területét: Körszelet területe =r^2*ívalfa/2-r^2*sin(alfa)/2=i*r/2-r^2*sin(alfa)/2 ívalfa: A körív hosszához tartozó középponti szög.

65. Húzzon egy körhöz egy külső pontból egy érintőt és egy szelőt. Bizonyítsa be, hogy az érintő szakasz hossza a szelődarabok hosszának mértani közepe!