Térfogat számítások

135. Hogyan származtatjuk a hengert és a hasábot? Hogyan származtatjuk a gúlát és a kúpot?

A sokszög lapokkal határolt konvex testek a poliéderek.

Egy zárt síkbeli görbe vonal pontjain keresztül párhuzamosokat húzunk egy a görbevonal síkjával nem párhuzamos egyenessel. így egy végtelen hengerfelületet kapunk. Ha ezt elmetszük a görbevonal síkjával és egy vele párhuzamos síkkal, akkor két végtelen térrészt és köztük egy véges testet határolunk el. Az így nyert véges test a henger. Ha a metsző síkok merőlegesek az adott egyenesre, a henger egyenes, egyébként ferde. Ha a síkbeli zárt görbe vonal kör, akkor körhengerről beszélünk [gyakori előfordulása miatt többnyire csak hengert mondunk]. A körlapok középpontjait összekötő egyenes a henger tengelye. Az egyenes körhenger egyenlő oldal, ha a tengelymetszete [a tengelyre illeszkedő, alapsíkra merőleges síkmetszet] négyzet.

Elnevezések: a metsző síkokban elhelyezkedő lapok a henger alaplapjai, az összekötő görbefelület a henger palástja. A henger származtatásakor húzott párhuzamosoknak a metsző síkok közé eső darabjai a henger alkotói. A párhuzamos síkok távolsága a henger magassága.

Egy síkbeli sokszög vonal pontjain keresztül párhuzamosokat húzunk egy a sokszög síkjával nem párhuzamos egyenessel. így egy végtelen hasábfelületet kapunk. Ha ezt elmetszük a sokszög síkjával és egy vele párhuzamos síkkal, akkor két végtelen térrészt és köztük egy poliédert kapunk. Az így kapott poliéder a hasáb.

Ha a metsző síkok merőlegesek az adott egyenesre, a hasáb egyenes, egyébként ferde. Ha a hasáb egyenes, és a síkbeli sokszögvonal szabályos, akkor szabályos hasábról beszélünk. A szabályos sokszögek középpontjait összekötő egyenes a hasáb tengelye. A paralelopipedon olyan hasáb, ahol a kiinduló sokszögvonal paralelogramma.

Elnevezések: a metsző síkban elhelyezkedő lapok az alaplapok, a többi lap a hasáb oldallapja. Az oldallapok paralelogrammák, ezek alkotják a hasáb palástját. A származtatáskor húzott párhuzamosoknak a metsző síkok közé eső darabjai a hasáb alkotói. Az alaplapok oldalai az alapélek, a többi éle a hasáb oldaléle. A párhuzamos síkok távolsága a hasáb magassága. A téglalap alap egyenes hasáb a téglatest; a kocka olyan téglatest, amelynek minden éle egyenlő.

A hasábot és a hengert - hasonló származtatásuk miatt hengerszerű testeknek nevezzük.

Ha egy síkbeli sokszög vonal pontjain keresztül egy - a sokszög síkjára nem illeszkedő - rögzített ponton át egyeneseket húzunk, akkor végtelen kettőskép szerű felületet kapunk. Ez a felület a sokszögvonal síkjával és a rögzített ponttal együtt több végtelen és egyetlen véges térrészt határol el. Az így nyert véges térrész a gúla. A sokszög a gúla alaplapja, a többi lap a gúla oldallapja. A

gúla oldallapjai háromszögek, amelyek közös csúcsa a gúla csúcsa, ami a rögzített pont. Az oldallapok alkotják a gúla palástját. A gúla alaplapjának oldalai az alapélek, a többi él oldalél. Az egyenes gúla oldalélei egyenlők. Ha az egyenes gúla alaplapja szabályos, akkor a gúla szabályos: oldallapjai egybevágó egyenlő szár háromszögek. Ha egy három oldal gúla [tetraéder] lapjai egybevágó szabályos háromszögek, akkor szabályos tetraéderről beszélünk. Ez a létező 5 féle szabályos poliéder egyike.

Ha egy zárt síkbeli görbe vonal pontjain keresztül egy - a görbe vonal síkjára nem illeszkedő - rögzített ponton át egyeneseket húzunk, akkor egy végtelen, kettős kúpfelületet kapunk. Ez a felület a görbe vonal síkjával és a rögzített ponttal együtt több végtelen és egy véges térrészt határol el. Az így nyert véges térrész a kúp. A rögzített pont a kp csúcsa. A zárt görbevonal által határolt síkidom a kp alaplapja. A kp csúcsát az alaplap kerületi pontjaival összekötő szakaszok a kp alkotói. A kp csúcsa és az alaplap síkja közötti távolság a kp magassága. A kp csúcsát az alaplappal összekötő görbe felület a kp palástja. Ha a kp alaplapja kör, akkor a kúp körkúp. [Ha kúpról beszélünk, többnyire körkúpra gondolunk.] A körkúp csúcsát a kör középpontjával összekötő egyenes a kp tengelye. A kp egyenes, ha a tengelye merőleges a kör síkjára. Ez forgáskúp. Az egyenes kúp alkotói egyenlők, tengelymetszete [a tengelyre illeszkedő, az alapsíkra merőleges síkmetszet] egyenlő szár háromszög. A kúp egyenlő oldal, ha tengelymetszete szabályos háromszög. A poliéderek térfogatának meghatározása a térfogat 4 tulajdonságán alapszik:

A. A térfogat pozitív szám.

B. Egybevágó poliéderek térfogata egyenlő.

C. Ha egy poliédert két poliéderre darabolunk, a kapott poliéderek térfogatának összege az eredeti poliéder térfogatával egyenlő.

D. Az egységnyi élű kocka térfogata 1.

A különböző poliéderek térfogatának meghatározása több lépésben történik.

A téglatest térfogatát az egységkocka térfogatával hasonlítjuk össze. A többi poliéder térfogatának meghatározásakor felhasználjuk a térfogat tulajdonságait, a már ismert térfogatképleteket. Gyakran a felbontás vagy átdarabolás van segítségünkre. A gúla térfogatát a kétoldali közelítés módszerével határozzuk meg; a görbe felületekkel határolt testek térfogatát pedig a "minden határon tl finomodó kétoldali közelítés" módszerével.

136. Bizonyítsa be, hogy a T alapterületű, M magasság hasáb térfogata V =T*!

A bizonyítás két lépésben történik. Először bebizonyítunk egy segédtételt.

A. Bebizonyítjuk, hogyha egy téglatest egy csúcsából kiinduló 3 éle a, b, c, akkor a térfogata (V) ezek szorzata: V =a*b*c.

A két téglatest alaplapja egybevágó, térfogatuk aránya magasságuk arányával egyezik meg.

B. A paralelepipedon térfogata:

V =T*m

C. Háromszög alap hasáb térfogata (V) a hasáb alapterületének (T) és a magasságának (m) a szorzata: V =T*m.

D. A hasáb térfogata a hasáb alapterületének és magasságának szorzata: V =T*m

137. Bizonyítsa be, hogy az r sugarú, kör alapú, m magasságú henger térfogata V =r^2*pi*m!

A bizonyítás gondolatmenete:

rájunk gondolatban az r sugarú, m magasság hengerbe és a henger köré egyre nagyobb oldalszám szabályos sokszög alap hasábokat [magasságuk m].

A beírt hasáboknál a sokszögek csúcsai a körvonalra esnek, a köré írt hasáboknál a szabályos sokszögek oldalai érintik a kört. A hasábok alkotói mindkét esetben párhuzamosak a henger alkotóival. A hasábok és a henger fedőlapjai egy síkba esnek. A szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt sokszögek területe nő, a körért sokszögek területe csökken. így az oldalszám növelésével az azonos oldalszám köréírt és beírt szabályos sokszögek területe közti különbség csökken. A szabályos sokszög alap hasábok térfogata az "alapterület szer magasság" összefüggés alapján számítható, ahol minden beírt és köréírt hasábra a magasság (m) azonos érték. Ebből és a fent mondottakból következik, hogy a szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt hasábok térfogata nő, a köréírtaké pedig csökken. így az azonos oldalszám köré - és beírt hasábok térfogata közötti különbség csökken. Bizonyítható, hogy a beírt és köréírt sokszögek területe az oldalszám növelésével azonos értékhez tart, ez az érték r^2*pi, a kör területe. íGy akármilyen nagy oldalszámra is a köré - és beírt hasábok térfogata közé esik az (r^2*pi*m) érték, amihez a köréírt és a beírt hasábok térfogata és a henger térfogata is tart. Bizonyítható, hogy ez csak gy valósulhat meg, ha az r sugaru m magasság henger térfogata V =r^2*pi*m.

138. Bizonyítsa be, hogy a T alapterületű, m magasság gla térfogata (V =T*m /3)!

A. A T alapterületü m magasságu tetraéder térfogata T*m /3. A bizonyításhoz két segédtételt használunk:

a.: Ha két közös síkon álló tetraéder alapterülete (T) és magassága (m) egyenlő, akkor az alappal párhuzamos síkmetszeteik területe is egyenlő.

B.: Az azonos alapterületü és magasságu tetraéderek térfogata egyenlő.

C.: A tetraéder térfogatát - a segédtételek felhasználásával visszavezetjük a háromoldal hasáb már ismert térfogatára.

B. Tetszőleges T alapterületű m magasságu gla V térfogata: V =T*m /3.

141. Bizonyítsa be, hogyha a forgáskp alapkörének sugara r, magassága m, akkor térfogata (V =r^2*pi*m /3)!

A forgáskúp térfogatának meghatározása a kör alapú henger térfogatának meghatározásához hasonló módon történik. rjunk a kúpba és a kp köré egyre nagyobb oldalszám m magasság szabályos sokszög alap gúlákat, melyeknek csúcsa a forgáskúp csúcsával megegyezik. A beírt gúlák alaplapjainak csúcsai a kúp alaplapjának kerületére esnek, a köréírt gúlák alaplapjainak oldalai érintik a kp alapkörét. A kp térfogata a beírt és a körülírt glák térfogata között van. Az alapkör területe is mindig a beírt és körülírt sokszögek területe közé esik. A szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt sokszögek területe nő, a köréírt sokszögek területe csökken. gy az oldalszám növelésével az azonos oldalszám köréírt és beírt szabályos sokszögek területe közti különbség csökken. Mivel a beírt és körülírt gúlák magassága megegyezik, a térfogatuk közötti különbség is egyre kisebb lesz. Bizonyítható, hogy a beírt és a körülírt sokszögek területe az alapkör területéhez, (r^2*pi)-hez tart. így akármilyen nagy oldalszámra is a köréírt és beírt glák térfogata közé esik egyrészt az (r^2*pi*m /3) érték, amihez a köréírt és a beírt glák térfogata tart, másrészt a kp térfogata is. Bizonyítható, hogy ez csak gy valósulhat meg, ha a kp térfogata (V =r^2*pi*m /3).

142. Bizonyítsa be, hogy az r sugaru gömb térfogata (V =4*r^3*pi /3)!

Az r sugaru gömb térfogata: V =4*r^3*pi /3.

143. Bizonyítsa be, hogyha a csonkakp alapjai r és R sugaru körök,

magassága pedig m, akkor térfogata (V =m*pi /3*(R^2 +R*r +r^2))!