Trigonometria

66. Hogyan értelmezzük a hegyes szögek szögfüggvényeit?

Tekintsük azokat a derékszögű háromszögeket, amelyeknek az egyik hegyes szöge alfa, ezek a derékszögű háromszögek - mivel két megfelelő szögük, alfa és a derékszög, egyenlő - mind hasonlók egymáshoz. Ezért ezekben a háromszögekben a megfelelő oldalak aránya egyenlő. Ezek az arányok csak az alfa szögtől függnek, így ezeket az arányokat szögfüggvényeknek nevezzük. Az alfa szöget tartalmazó tetszőleges derékszögű háromszögben az egyes szögfüggvényeket, sin(alfa)-t, cos(alfa)-t, tan(alfa)-t, ctg(alfa)-t így értelmezzük:

sin(alfa) =a /c [az alfa szöggel szemközti befogó / az átfogó]

cos(alfa) =b /c [az alfa szög melletti befogó / az átfogó]

tan(alfa) =a /b [az alfa szöggel szemközti befogó / az alfa szög

melletti befogó]

ctg(alfa) =b /a [az alfa szög melletti befogó / az alfa szöggel

szemközti befogó]

(sin(alfa) =a /c)-ből (a =c*sin(alfa)), vagyis a szög szinusza megmutatja, hogy az alfa szöggel szemközti befogó hányszorosa az átfogónak. Hasonlóan átfogalmazható a többi szögfüggvény is.

67. Hogyan értelmezhető egy tetszőleges szög szinusza illetve koszinusza?

Az e egységvektor pozitív irányszöge olyan alfa szög, amellyel az i egységvektort az origó körül pozitív irányba elforgatva az e-be megy át.

Sin(alfa) az alfa irányszögű e egységvektor ordinátája [második koordinátája].

Cos(alfa) az alfa irányszögű e egységvektor abszcisszája [első koordinátája].

68. Hogyan értelmezhető egy tetszőleges szög tangense , illetve kotangense?

Ha (cos(alfa) <>0) - azaz (alfa <>pi /2 +k*pi), k egész -, akkor tan(alfa) =sin(alfa) /cos(alfa).

Ha (cos(alfa) =0), akkor az alfa szög tangensét nem értelmezzük.

Ha (sin(alfa) <>0) - azaz (alfa <>k*pi), k egész -, akkor

ctg(alfa) =cos(alfa) /sin(alfa)

Ha (sin(alfa) =0), akkor az alfa szög kotangensét nem értelmezzük.

69. Számítsa ki a 30 fokos, 60 fokos, 45 fokos szögek szögfüggvényeinek pontos értékét!

A 30 fokos és a 60 fokos szögek szögfüggvényeit a 2 egység oldal szabályos háromszög segítségével számoljuk ki:

sin(30) =1 /2

sin(60) =`3 /2

cos(30) =`3 /2

cos(60) =1 /2

tan(30) =1 /`3 =`3) /3

tan(60) =`3

ctg(30) =`3

ctg(60) =1 /`3 =`3 /3

a 45 fokos szög szögfüggvényeit az egységnyi befogók egyenlő szár derékszögű háromszög segítségével számoljuk ki:

sin(45) =1 /`2 =`2 /2

cos(45) =1 /`2 =`2 /2

tan(45) =1 /1 =1

ctg(45) =1 /1 =1

70. Igazolja a következő azonosságokat: Sin(alfa^2) +cos(alfa^2) =1 minden valós a -ra.

A szögfüggvények definíciója szerint az alfa irányszögű e egységvektor koordinátái: (cos(alfa),sin(alfa)), az általuk meghatározott derékszögű háromszögben felírjuk a Pitagoras-tételt: |e|^2 =sin(alfa^2) +cos(alfa^2) =1.

71. Határozza meg a háromszög területét, ha adott két oldal és a közbezárt szög.

Adott egy háromszög két oldala, a és b, és a két oldal által közbezárt szög epszilon. Ekkor a háromszög területét [t-t] a következő képlet adja meg: t =a*b*sin(epszilon) /2

73. Bizonyítsa be egy kör r hosszság sugara, a hosszság húrja és az a -hoz tartozó alfa kerületi szög közötti következő összefüggést:

A =2*r*sin(alfa).

Az r sugar körben az alfa kerületi szöghöz tartozó a hr hossza: 2*r*sin(alfa).

74. Bizonyítsa be a szinusztételt!

A szinusztétel kimondja, hogy bármely háromszögben az oldalak aránya egyenlő a velük szemközti szögek szinuszának arányával.

Bizonyítása:

rájuk fel a háromszög területét két féleképpen az alfa és béta szögek felhasználásával: a*c*sin(béta) /2 =b*c*sin(alfa) /2, innen: a*sin(béta) =b*sin(alfa), vagyis: a /b =sin(alfa) /sin(béta)

Közben felhasználtuk, hogy (c <>0), (b <>0), és (sin(béta) <>0), hiszen egy háromszög oldalairól, ill. szögéről van szó. Ugyanez az okoskodás a háromszög többi oldalpárjára is elvégezhető. A szinusztétel segítségével a háromszög három független adatából - két oldala és az azokkal szemben fekvő szögei közül - meghatározhatjuk a kiányzó negyediket. Ha a hiányzó adat a nagyobb oldallal szemközti szög, akkor két megoldás is lehet:

egy hegyes szög és egy tompa szög. Derékszögű háromszögre [ahol a az egyik befogó, alfa az ezzel szemközti szög, c az átfogó] - a szinusztétel a (sin(alfa) =a /c) összefüggést adja.

75. Bizonyítsa be a koszinusztételt!

A koszinusztétel kimondja, hogy bármely háromszögben egy oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk a két oldal és a közbezárt szög koszinusza szorzatának kétszeresét. C^2 =a^2 +b^2 -2*a*b*cos(epszilon).

76. Igazolja a következő azonosságokat:

Sin(alfa +béta) =sin(alfa)*cos(béta) +cos(alfa)*sin(béta) és cos(alfa +béta) =cos(alfa)*cos(béta) -sin(alfa)*sin(béta)

77. Fejezze ki sin(alfa -béta) ill. cos(alfa -béta) értékét a sin(alfa +béta), ill. cos(alfa +béta)-ra vonatkozó azonosságok ismeretében!

Érvényesek a következő összefüggések: sin(alfa -béta) =sin(alfa)*cos(béta) -cos(alfa)*sin(béta) és (cos(alfa -béta) =cos(alfa)*cos(béta) +sin(alfa)*sin(béta)).

Bizonyítása: Tudjuk, hogy sin(alfa +béta) =sin(alfa)*cos(béta) +cos(alfa)*sin(béta) és cos(alfa +béta) =cos(alfa)*cos(béta) -sin(alfa)*sin(béta). rjunk béta helyébe (-bétát), majd használjuk fel, hogy sin(-béta) = -sin(béta) és cos(-béta) =cos(béta). Sin(alfa +(-béta)) =sin(alfa)*cos((-béta)) +cos(alfa)*sin((-béta)) =sin(alfa)*cos(béta) -cos(alfa)*cos(béta). Ezzel állításunkat igazoltuk.

Cos(alfa +(-béta)) =cos(alfa)*cos((-béta)) -sin(alfa)*sin((-béta)) =cos(alfa)*cos(béta) +sin(alfa)*sin(béta). Ezzel állításunkat igazoltuk.

78. Fejezze ki tan(alfa +béta)-t tan(alfa)-val és tan(béta)-val a sin(alfa +béta), ill. a cos(alfa +béta)-ra vonatkozó azonosságok ismeretében!

A tan(alfa +béta) =tan(alfa) +tan(béta) /1 -tan(alfa)*tan(béta).